Lớp chiều cao (cm)	\([150;155)\)	\([155;160)\)	\([160;165)\)	\([165;170)\)
Số học sinh	9	20	7	4

Tuổi thọ (năm)	\([2;2,5)\)	\([2,5;3)\)	\([3;3,5)\)	\([3,5;4)\)	\([4;4,5)\)	\([4,5;5)\)
Tần số	4	9	14	11	7	5

Đáp án: 6

Hướng dẫn giải:

- Ta có biểu thức cần tính:

\[ T = \overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}\right) = \overrightarrow{AB}^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DA} = AB^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} \]

- Vì tứ diện \(ABCD\) đều có cạnh bằng 2 nên \(AB = AD = 2\) và tam giác \(ABD\) là tam giác đều, suy ra góc \(\widehat{BAD} = 60^\circ\).

- Tính tích vô hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB \cdot AD \cdot \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

- Thay vào biểu thức ban đầu ta được:

\[ T = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \]

Đáp án: 2,74

Hướng dẫn giải:

- Tổng số sinh viên của mẫu số liệu là: \(n = 12 + 20 + 37 + 21 + 10 = 100\).

- Ta lập bảng tần số tích lũy để tiện xác định các nhóm chứa tứ phân vị:

• Nhóm \([2; 4)\): tần số \(12\), tần số tích lũy \(12\)
• Nhóm \([4; 6)\): tần số \(20\), tần số tích lũy \(32\)
• Nhóm \([6; 8)\): tần số \(37\), tần số tích lũy \(69\)
• Nhóm \([8; 10)\): tần số \(21\), tần số tích lũy \(90\)
• Nhóm \([10; 12)\): tần số \(10\), tần số tích lũy \(100\)

1. Tìm tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\):

- Vị trí của \(Q_1\) là \(\frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25\).

- Do \(12 < 25 \le 32\) nên nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([4; 6)\).

- Áp dụng công thức: \[ Q_1 = 4 + \left(\frac{25 - 12}{20}\right) \cdot (6 - 4) = 4 + \frac{13}{20} \cdot 2 = 4 + 1,3 = 5,3 \]

2. Tìm tứ phân vị thứ ba \(Q_3\):

- Vị trí của \(Q_3\) là \(\frac{3n}{4} = \frac{300}{4} = 75\).

- Do \(69 < 75 \le 90\) nên nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([8; 10)\).

- Áp dụng công thức: \[ Q_3 = 8 + \left(\frac{75 - 69}{21}\right) \cdot (10 - 8) = 8 + \frac{6}{21} \cdot 2 = 8 + \frac{4}{7} \approx 8,5714 \]

3. Tính khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\):

\[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 8,5714 - 5,3 = 3,2714 \]

- Làm tròn đến hàng phần trăm ta được kết quả: 3,27

Đáp án: 7,2

Hướng dẫn giải:

- Vì điểm \(N\) đối xứng với điểm \(M(3;3;-2)\) qua trục \(Oy\) nên tọa độ của \(N\) sẽ giữ nguyên tung độ \(y\) và đổi dấu hoành độ \(x\), cao độ \(z\).

- Suy ra tọa độ điểm \(N\) là: \(N(-3;3;2)\).

- Độ dài đoạn thẳng \(MN\) được tính bằng công thức:

\[ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2} \]

\[ MN = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} \]

\[ MN = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7,211 \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được: 7,2

Đáp án: 510

Hướng dẫn giải:

- Đặt độ dài đoạn \(MC = x\) (km), với \(0 \le x \le 9\).

- Khi đó, độ dài đoạn trên bờ là: \(AM = AC - MC = 9 - x\) (km).

- Độ dài đoạn dưới nước được tính theo định lý Pitago trong tam giác vuông \(BCM\):

\[ MB = \sqrt{BC^2 + MC^2} = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 36} \text{ (km)} \]

- Hàm tổng chi phí xây dựng (đơn vị: triệu đồng) là:

\[ f(x) = 30 \cdot (9 - x) + 50 \cdot \sqrt{x^2 + 36} = 270 - 30x + 50\sqrt{x^2 + 36} \]

- Lấy đạo hàm của hàm số theo \(x\):

\[ f'(x) = -30 + 50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} \]

- Giải phương trình \(f'(x) = 0\):

\[ 50x = 30\sqrt{x^2 + 36} \iff 5x = 3\sqrt{x^2 + 36} \iff 25x^2 = 9(x^2 + 36) \]

\[ \iff 16x^2 = 324 \iff x^2 = \frac{81}{4} \implies x = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ (thỏa mãn)} \]

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:

• \(f(0) = 270 + 50 \cdot 6 = 570\)
• \(f(9) = 50 \cdot \sqrt{9^2 + 36} = 50\sqrt{117} \approx 540,83\)
• \(f(4,5) = 30 \cdot (9 - 4,5) + 50 \cdot \sqrt{4,5^2 + 36} = 135 + 50 \cdot 7,5 = 510\)

- So sánh các giá trị trên, chi phí thấp nhất là 510 triệu đồng khi vị trí điểm \(M\) cách \(C\) một khoảng 4,5 km.

Quãng đường (\(km\))	\([2,7;3,0)\)	\([3,0;3,3)\)	\([3,3;3,6)\)	\([3,6;3,9)\)	\([3,9;4,2)\)
Số ngày	3	6	5	4	2

Đáp án: 0,36

Hướng dẫn giải:

- Tổng số ngày quan sát: \(n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20\) ngày.

- Giá trị đại diện \(x_i\) của từng nhóm lần lượt là: \(2,85\); \(3,15\); \(3,45\); \(3,75\); \(4,05\).

1. Tính số trung bình cộng \(\bar{x}\):

\[ \bar{x} = \frac{3 \cdot 2,85 + 6 \cdot 3,15 + 5 \cdot 3,45 + 4 \cdot 3,75 + 2 \cdot 4,05}{20} \]

\[ \bar{x} = \frac{8,55 + 18,9 + 17,25 + 15,0 + 8,1}{20} = \frac{67,8}{20} = 3,39 \text{ (km)} \]

2. Tính phương sai \(s^2\):

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3 \cdot (2,85 - 3,39)^2 + 6 \cdot (3,15 - 3,39)^2 + 5 \cdot (3,45 - 3,39)^2 + 4 \cdot (3,75 - 3,39)^2 + 2 \cdot (4,05 - 3,39)^2 \right] \]

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3 \cdot (-0,54)^2 + 6 \cdot (-0,24)^2 + 5 \cdot (0,06)^2 + 4 \cdot (0,36)^2 + 2 \cdot (0,66)^2 \right] \]

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3 \cdot 0,2916 + 6 \cdot 0,0576 + 5 \cdot 0,0036 + 4 \cdot 0,1296 + 2 \cdot 0,4356 \right] \]

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 0,8748 + 0,3456 + 0,0180 + 0,5184 + 0,8712 \right] = \frac{2,628}{20} = 0,1314 \]

3. Tính độ lệch chuẩn \(s\):

\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,1314} \approx 0,36248 \]

- Làm tròn đến hàng phần trăm ta được kết quả: 0,36

Đáp án: \(a\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

- Ta biến đổi biểu thức véc-tơ \(\vec{v}\):

\[ \vec{v} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{B'B} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} \]

- Do \(B'BCC'\) là một mặt bên của hình lập phương nên nó là một hình vuông cạnh \(a\). Theo quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc cộng véc-tơ nối đuôi), ta có:

\[ \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B'C} \]

- Suy ra độ dài của véc-tơ \(\vec{v}\) chính là độ dài đoạn thẳng \(B'C\):

\[ \left| \vec{v} \right| = \left| \overrightarrow{B'C} \right| = B'C \]

- Xét tam giác vuông \(B'BC\) vuông tại \(B\), áp dụng định lý Pitago:

\[ B'C = \sqrt{B'B^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

- Vậy độ dài của véc-tơ đã cho bằng \(a\sqrt{2}\).

Đáp án: \vec{u} = (-1;8;2), |\vec{u}| = \sqrt{69}

Hướng dẫn giải:

- Trước hết, ta tìm tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\):

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 1; 0 - (-2); 2 - 3) = (2; 2; -1) \]

- Tiếp theo, ta tìm tọa độ của véc-tơ \(3\vec{c}\):

\[ 3\vec{c} = 3 \cdot (-1; 2; 1) = (-3; 6; 3) \]

- Tọa độ của véc-tơ \(\vec{u} = \overrightarrow{AB} + 3\vec{c}\) là:

\[ \vec{u} = (2 + (-3); 2 + 6; -1 + 3) = (-1; 8; 2) \]

- Độ dài của véc-tơ \(\vec{u}\) được tính bằng công thức:

\[ \left| \vec{u} \right| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 64 + 4} = \sqrt{69} \]

- Vậy tọa độ véc-tơ là \((-1; 8; 2)\) và độ dài véc-tơ là \(\sqrt{69}\).